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Ich beschäftige mich gerade mit einem eigenen Rollenspiel, das ich entwickeln möchte, irgendetwas kleines und schnelles. Im Zuge dieses kreativen Schaffungsprozesses sitze ich auf meinem alten Stuhl und lasse die Würfel wieder und wieder durch die Hände gleiten. Ich bin gerade beim Thema Regelsystem. Im speziellen bei der Überlegung, wie gewürfelt wird. Und plötzlich kommt die Frage auf „Wie lange gibt es eigentlich schon Würfel?“.

Ich beginne also ein wenig im World Wide Web zu recherchieren.

Sinn und Zweck eines Würfels

Grundsätzlich wird ein Spielwürfel ja dazu genutzt, um als Zufallsgenerator zu dienen. Er zeigt uns ein Ergebnis, das fürs Spiel wichtig ist. Der Begriff Spielwürfel kommt also daher, dass wir ihn benutzen, um zu spielen. Ich muss sagen, darüber habe ich mir vorher noch nie Gedanken gemacht. Die offensichtlichsten Dinge im Leben nimmt man oft so hin.

So nutzen wir den Würfel in verschiedenen Spielen, nicht nur zum Kniffeln. Natürlich werden sie für Würfelspiele genutzt, ebenso für Brettspiele, für unsere Rollenspiele und auch für Tabletop-Spiele. Es gibt aber sogar Sammelwürfelspiele, die ähnlich wie Trading Card Games funktionieren. Hier teilte man mir mit, dass es ein sogenanntes „Deckbuidling“-Spiel mit Würfeln gibt, das sich „Quarriors“ nennt, aber auch „Dragon Dice“ ist ein solches Sammelwürfelspiel.  Man nutzt  keine Karten sondern Würfel, die man sammelt und in verschiedenen Sets – mit denen man dann antritt – unterbringt. Wer sich grundsätzlich für Würfelspiele interessiert, dem empfehle ich z.B. den Link zur Wikipedia.

Würfel in der Mathematik

Grundsätzlich ist der Würfel in der Geometrie eine fest definierte Figur. Das wusste ich selbst noch aus dem Mathematikunterricht. Auch die Berechnung der Oberfläche schlummert ganz bestimmt noch irgendwo tief, vermutlich sehr tief, in meinem Langzeitgedächtnis. Der sechsseitige Würfel ist zum Beispiel ein Hexaeder. Hex ist Griechisch und bedeutet sechs. Aber auch die anderen Würfel haben ihre griechischen Bezeichnungen im Bezug auf ihre geometrische Figuren, vom W4, der ein Tetraeder ist, bis hin zum W20, der ein Ikosaeder ist. Es gibt zwar auch einen W30 und sogar einen W100 (der auch Zocchihedron  genannt wird, nach seinem Erfinder Lou Zocchi ), aber gerade letzterer ist mehr eine Kugel, als ein Würfel, wobei sie streng genommen aber natürlich noch geometrische Figuren sind. Der Ruf des Warlock, habe ich mich aufklären lassen, ist wohl das einzige Rollenspiel, das einen W30 nutzt, den W100 in seiner Form als Fast-Kugel habe ich jedoch nie im Einsatz gesehen. Recht häufig wird er aber natürlich genutzt in Form von zwei W10, in dem der eine Würfel die 10er Stellen darstellt, und der zweite die 1er.

Trotz alledem frage ich mich immer wieder, warum ich das im Mathe-Unterricht alles dauernd berechnen musste. Diese nutzlose Zeitverschwendung hätte man auf dem Stundenplan lieber durch was Anständiges wie „grundlegende Tabletop-Strategien“ tauschen müssen!

Beschriftung

Fotografie: Andreas Butzkies

Die gängisten Würfel, die ein Rollenspieler kennt, sind Würfel mit Zahlen darauf. Grundsätzlich (sagte mir mal mein Mathelehrer) sollte es bei Würfeln so sein, dass die  Zahlen auf den gegenüberliegenden Seiten immer die gleiche Summe ergeben. Bei einem W20 wären das 20+1, 19+2, 18+3 etc. (also aufsteigende bzw. absteigende Reihenfolge der Zahlen). Diese Anordnung liegt in der statistischen Gleichverteilung begründet. Ich sage absichtlich sollte, weil ich durchaus schon Würfel gesehen habe, bei denen das nicht der Fall ist. Haben wir also beim W20 die 11 oben liegen könnt ihr davon ausgehen, dass er auf der 10 liegt. Man könnte es auch mathematisch ausdrücken – das lasse ich aber an dieser Stelle. Da beschäftigt sich Holger gleich noch ein wenig mit, der ja als ehemaliger Mathematikstudent viel fundierter Auskunft geben kann, OBWOHL er kein Mathelehrer geworden ist.

Fotografie: Andreas Butzkies

Aber es gibt natürlich auch Würfel, die nicht so klassisch beschriftet sind. Beim Tabletop Warhammer zum Beispiel kommt neben den klassischen W6 auch noch der W6 mit Symbolen auf den Würfelflächen zum Tragen. In diesem speziellen Fall sind es die sogenannten „Abweichungswürfel“. Sie kommen bei Artilleriefeuer (oder Vergleichbarem) zum Einsatz.
Desweiteren kenne ich noch die sogenannten „Poker Dice“ also Pokerwürfel, die mit den Farben und Bildern eines Kartenspiels bedruckt sind. Mit ihnen werden verschiedene Pokerspiele mit dem Würfel gespielt.  Ihr könnt selber mal im Rollenspielladen eures Vertrauens  schauen, was es alles gibt.
Auch im immer bekannter werdenden FATE-System benutzt man besondere W6, nämlich die FUDGE Würfel. Sie tragen zweimal ein Plus, zweimal ein Minus und zwei leere Felder. Plus bedeutet einen Erfolg, Minus einen Misserfolg und die leeren Felder haben keine Auswirkung.  Man verrechnet Plus und Minus am Ende mit dem Skill und prüft, ob das für die Anforderung der Probe reicht.

Früheste Funde

Aber wie lange werden diese Würfelspiele schon gespielt, also wie lange gibt es Würfel?

Die ältesten gefundenen Würfel stammen aus der Zeit um 3000 vor Christus, aus dem heutigen Iran. Man vermutet, dass sie zu einer Art Vorgänger des Backgammons gehören. Aber auch im heutigen Irak und Pakistan wurden bereits kubische Würfel mit Augen gefunden. In Ägypten verwendete man Knöchelchen von Ziegen und Schafen als Würfel. Die Würfel dieser Zeit waren nicht nur 6-seitig, sondern sie gingen sogar bis zum W24 hoch. Unabhängig davon entwickelten sich auch in Indien Würfel, hier verwendete man beschriftete Nüsse zum Spielen.

Vor allem römische Legionäre und Kolonisten sorgten dafür, dass die Würfel sich in Europa verbreiteten. Der W6 war vermutlich der dominierende Würfel der Antike, jedoch gab es immer wieder auch andere, kuriose Formen wie z.B. den Astragaloi. Ein Astragal ist der Sprunggelenkknöchel eines  Paarhufers und zeichnet sich durch seine stark unterschiedlichen Seiten aus, wodurch er sich gut für Würfelspiele eignete. Beliebt war wohl ein Knobelspiel, bei dem erraten werden musste, ob die Anzahl der Würfel in der verdeckten Hand gerade oder ungerade ist.  Dann gab es wohl noch das Spiel „Omilla“ in dem ein Kreis auf den Boden gezeichnet wurde, und man versuchen musste, mit seinen Würfeln die Würfel der anderen Spieler aus dem Kreis zu werfen. Ob die Schweizer daraus das Eisstockschießen erfunden haben? Das wohl aber bekannteste Astragalspiel muss wohl das „Fünfsteinspiel“ sein. Dies Spiel wird bis heute weiter entwickelt. In der Türkei heißt es „Bestas“ und in England „Jacks“. Damals warf man die Würfel in die Luft und musste sie mit dem Handrücken auffangen. Die nicht auf dem Handrücken gelandeten mussten aufgehoben werden, ohne dass die auf dem Handrücken liegenden herunterfallen. Hierbei jedoch handelt es sich nicht um Spiele, bei denen die Zufallszahl von direkter Bedeutung ist, sondern der Würfel nur als Maß der Geschicklichkeit gewählt wurde.

Aber auch Würfelspiele wurden mit den Astragalen gespielt. Natürlich fielen aufgrund der Beschaffenheit einige Ergebnisse öfter, andere kamen nur zustande, wenn sich die Würfel aneinander anlehnten. In Griechenland zum Beispiel wurden 4 Astragale geworfen, und es konnte eine von 35 verschiedenen Würfelkombinationen dabei heraus kommen. Diese Kombinationen wurden nach Göttern, Heroen, Königen oder berühmten Personen benannt. Entweder wurde nach Augen gezählt oder nach Figuren, die lagen. Der höchste Wurf wurde nach einer hohen Gottheit benannt.
Neben ausschweifenden Orgien, Krieg führen und andere Länder erobern, waren Würfelspiele sicherlich einer der beliebtesten Zeitvertreibe. Der Einsatz war meist Geld, teils in solch hohen Summen, dass nach einem verlorenen Spiel der Ruin drohte und man sich in Leibeigenschaft begab. Deswegen gab es schon sehr früh Versuche, das Würfelspiel mit Hilfe von Gesetzen zu verbieten. Das erste würfel- erwähnende Gesetz  stammt aus der Zeit 254. v. Christus.

Material und Herstellung

Fotografie: Andreas Butzkies

Wie ich bereits erwähnte, wurden die damaligen Würfel oft aus Knochen oder Nüssen gemacht. Sicherlich wurden manche auch aus Holz geschnitzt. Das ist aber heute größtenteils passé. Vor allem das Schnitzen. Die Würfel, die bei uns zum Einsatz kommen sind nicht mehr handgefertigt sondern stammen aus einem industriellen Prozess. Die heutigen Würfel sind meist aus Kunststoff, es kommen aber auch Materialien wie Holz, Metall, Stein oder Halbedelsteine zum Einsatz. Bei Crystal Caste findet man zum Beispiel Würfel aus Metall oder Stein.

Die Plastikwürfel werden gegossen und Unebenheiten werden anschließend maschinell beseitigt. Vertiefungen für die Nummern oder Symbole werden in den Würfel eingearbeitet und mit Farbe gefüllt.  Diese Bearbeitung ist wohl schon ein leichtes „Zinken“ , denn die Beschaffenheit des Würfels ist ja grundsätzlich nicht mehr überall gleich, der Effekt ist allerdings nur minimal. Zinken selber erkläre ich noch ein Stück weiter unten.

Wenn man  ins Casino geht und würfelt wird man keine gewöhnlich hergestellten Würfel in der Hand halten, sondern so genannte „Precision Dice“ (Präzisionswürfel). Sie unterscheiden sich von normalen Würfeln durch das verwendete Material, den Herstellungsprozess und ihre Genauigkeit. Je nach Verwendungszweck sind die Würfel zum Beispiel durchsichtig, wodurch vermieden werden soll, dass gezinkte Würfel ihren Weg ins Spiel finden und/oder Luftblasen eingeschlossen werden und unerkenntlich sind. Desweiteren sind sie auf einen 1/1000 Zoll genau in den Ausmaßen. Nur solche Würfel finden ihren Weg in Casinos. Hier kosten sechs W6 rund 20 Euro, das ist im Schnitt zehn mal so teuer wie der Preis für normale W6.

Für den Würfel- und Brettspielmassenmarkt gibt es eine große Anzahl an Würfelherstellern, die Würfel für die Rollenspiele (die nicht 6-seitig sind) werden im Vergleich von weniger  Firmen hergestellt. Mir persönlich waren vor allem Chessex Games oder Q-Workshop als Firma ein Begriff. Hier kann man sich sogar seine eigenen Würfel als Spezialanfertigung herstellen lassen. Space Pirates zum Beispiel hat W10 im Angebot, die nur zwei Symbole haben: den Totenkopf für einen Misserfolg und die Rakete für einen Erfolg. Beide sind gleich oft vertreten, man könnte als von einem W2 sprechen. Der Fantasie sind also keine Grenzen gesetzt, wenn wir spezielle  Würfel haben wollen. Bereits weiter oben habe ich ja schon auf Crystal Caste verwiesen.

Schummeleien

Fotografie: Andreas Butzkies

Wer an Glücksspiel denkt – und nichts anderes ist Würfeln ja – der wird vielleicht auch ans Schummeln denken. Wie aber wurde (und wird) beim Würfeln geschummelt?
Zuerst war da einmal die Möglichkeit, sich die Würfel geschickt in die Hand zu legen, und sie gekonnt fallen zu lassen, so dass möglichst oft genau das liegen blieb, was man wollte. Um diese Betrügerei zu verhindern, wurden bereits zu Zeiten der Römer Würfeltürme eingeführt. Hier muss man die Würfel lediglich oben hineinwerfen, und der Würfelturm sorgt für den Rest. Ebenfalls wurde der Würfelbecher erfunden, um diese Tricks abzustellen. Man musste den Becher schütteln und auf dem Tisch klatschen. Die besonderen Exemplare sind im Inneren auch noch mit einer Lippe versehen, so dass der Würfel immer mindestens einmal gedreht wurde, wenn man den Becher hochhob.

Ich schrieb zu Anfang, dass immer der höchste und der niedrigste Wert auf den gegenüberliegenden Seiten steht. Bei Würfeln von Betrügern standen oftmals bei ihren W6 jeweils zwei 6 auf den gegenüberliegenden Seiten.

Vor allem aber wurde mit der Beschaffenheit der Würfel „experimentiert“. Es gibt Würfel, in denen steckt Blei an einer Seite, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel auf dieser Seite liegen bleibt, extrem erhöht wurde. Auch längere und kürzere Seiten verschieben die Wahrscheinlichkeit. Dies nennt man dann auch „zinken“, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung verschieben.

Ich schummele z.B. bei „Gareth brennt“ – einem Spiel, das wir in der DSA Runde mit unseren Charakteren spielen, indem ich immer zwei Würfel mehr im Becher habe. Wir tun dies immer „live“ am Tisch, und bisher ist es noch nie einem Mitspieler oder dem Meister aufgefallen. Wie bei Allem gilt natürlich: nicht erwischen lassen ;-)

Würfelaberglaube

Meine beiden Mitautoren Annika  und Henning  haben sich auch schon einmal Gedanken genau zu diesem Thema gemacht. Darf jemand anders die Würfel des Besitzers anfassen? Ja oder Nein? Gehen dadurch die guten Würfe verloren und man hat nur noch Pech? Wie behandle ich einen Würfel, um das Optimum aus ihm heraus zu holen? Gerade die Diskussionen zu dem Thema zeigen, dass es da unterschiedliche Meinungen gibt .

P.S. Finger weg von meinen Cthulhu Würfeln!!!

Übrigens: Würfel sind ja nicht nur zum Würfeln da, sondern auch zum Sammeln. Die weltgrößte Würfelsammlung – und somit im  Guinness Buch der Rekorde verewigt- besitzt Kevin Cook. Er hat um die 35.000 Würfel. Wer sich seine Sammlung mal angucken möchte, kann das auf dieser Seite tun. 

Anmerkung der Redaktion: Was so ein Würfel macht, wenn er sich total unwahrscheinlich verhält, könnt ihr beim Tod eines Trolls nachlesen

Kleiner mathematischer Exkurs zum Thema Würfel

(von Holger) 

Als der Teilzeit-Chefheld Roger davon erfuhr, dass Andreas einen Artikel über Würfel schreibt, bat er den Teilzeit-Teilzeithelden-Obergeek, also mich, doch mal ein wenig über die mathematische Seite der Würfel zu schreiben. Er hat es nicht anders gewollt.

Wer schon in der Schule Mathe nicht mochte, kann den Teil einfach überspringen oder in den Kommentaren einen Shitstorm starten ;)

Mathematisch gesehen ist eigentlich nur der W6 ein Würfel. Alles andere, was wir so als Würfel bezeichnen, sind andere Objekte, von denen aber die meisten einige Eigenschaften gemein haben: Bei dem W4 (Tetraeder), W6 (Hexaeder), W8 (Oktaeder), W12 (Dodecaeder) und W20 (Ikosaeder) handelt es sich um Repräsentationen aller möglichen platonischen Körper. Platonische Körper zeichnen sich dadurch aus, dass es Polyeder, also mehrflächige Körper, sind, die absolut regelmäßig sind, d.h. alle Flächen und alle Winkel zwischen den Flächen sind identisch. Das klingt erst einmal ziemlich abgehoben, aber es sorgt dafür, dass bei perfekten „Würfeln“ dieser Art alle Ergebnisse tatsächlich gleich wahrscheinlich sind, da die Liegeflächen und auch die Kanten, über die der Würfel rollt, alle gleich sind.

Lediglich der W10 ist ein gebräuchlicher „Würfel“, der eben nicht platonisch ist. Das bedeutet jedoch nicht, dass er nicht ebenfalls immer perfekte Zufallszahlen liefert, nur eben aus anderen Gründen.

Auch die immer mal wieder verwendeten Walzen, die es in diversen Ausführungen gibt, liefern perfekte Zufallsergebnisse.

Wo wir gerade bei perfektem Zufall sind: Was bedeutet das eigentlich? Mathematisch ausgedrückt bedeutet es, dass die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse gleich sind und dass die einzelnen Würfelergebnisse unabhängig sind, also es egal ist, was man zuvor gewürfelt hat. Das Würfeln eines einzelnen Würfels ist also ein Laplace Experiment.

Die Folge davon ist, dass man die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Wurf mit einem Würfel Erfolg hat, recht einfach berechnen kann: (n ist das, was man mindestens würfeln muss, m das Maximum des Würfels)

 

 

 

Als Beispiel sei hier einfach die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges bei Shadowrun 4 mit einem Würfel genommen:

 

 

 

 

Ähnlich einfach lässt sich der Erwartungswert berechnen:

 

 

 

Bei einem W6 ist das eine 3,5. Je mehr Würfel ich werfe und zusammenaddiere, desto näher liege ich in aller Regel auch an der Summe ihrer Erwartungswerte.

Bei erfolgsbasierten Systemen ist der Erwartungswert gleich der Wahrscheinlichkeit, einen Erfolg zu erlangen. Im Beispiel von oben also ein Drittel. Das bedeutet, dass ich, wenn ich drei Würfel werfe, im Schnitt einen Erfolg haben werde.

Das ist natürlich nicht zu verwechseln, mit der Chance, einen Erfolg zu haben. Denn ich könnte ja auch gar keinen oder sogar drei Erfolge erreichen.

Um die Chance, mindestens einen Erfolg zu haben, wenn ich n Würfel werfe, zu berechnen, ist es am sinnvollsten, die Chance zu berechnen, dass ich KEINEN Erfolg habe, und diese zu negieren:

 

 

 

Um weiter im Beispiel zu bleiben, hätten wir also 

oder eine Chance von ziemlich genau 70%, dass mindestens ein Erfolg dabei ist

Natürlich wird es komplexer sobald man mehrere Erfolge benötigt (Shadowrun, Storyteller), explodierende Würfel hinzukommen (Shadowrun 1-3, Savage Worlds), oder man eine bestimmte Anzahl an Punkten zum Ausgleichen mehrerer Würfelergebnisse hat (DSA), aber die Grundberechnung jedes einzelnen Würfels bleibt stets simpel.

Und gerade das ist es, was Würfel für Spiele so perfekt macht: Sie bringen einen Zufallsfaktor ins Spiel, aber dieser Zufall ist, wenn man sich damit beschäftigt und entsprechend spielt, berechenbar und in bestimmten Maßen auch kontrollierbar.

Artikelbild: depositphotos © paulzhuk

3 Kommentare

  1. Schöner Artikel!
    Mein eigenes System, das gerade in der Entwicklungs-Endphase ist, wird übrigens auch den W30 (neben W6 und evtl. W4) verwenden.
    Im Netz habe ich mal irgendwo eine schöne Hausarbeit zum Thema Würfelwahrscheinlichkeiten im Rollenspiel gefunden, weiß aber nicht mehr genau wo… wenn ihr Interesse daran habt, mailt mich an, dann suche ich mal, ob ich sie noch irgendwo habe.

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